27 Januari 2017

Tips Menghafal Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah

Sudah cukup lama FloMath tidak menyapa teman-teman. Akhirnya, pada kesempatan ini FloMath dapat berbagi sedikit ilmu mengenai "Tips Menghafal  Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah".

Tentunya, sudah bukan rahasia umum lagi, bahwa trigonometri merupakan salah satu bab yang jadi momok menakutkan, khususnya bagi pelajar Sekolah Mengengah Atas. Alasannya juga berbeda-beda. Tapi, kebanyakan yang menjadi penyebabnya adalah Rumus Trigonometri yang banyak dan beragam sehingga sulit untuk dihapalkan.

Sejujurnya, postingan ini juga di latarbelakangi oleh salah satu member FloMath yang mengeluh tentang sulitnya menghapal rumus-rumus trigonometri. Dan meminta saya untuk membagikan  "Tips Menghafal  Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah". Padahal, bukan suatu alasan Trigonometri di anggap sulit dan menakutkan karena banyaknya rumus. Karena apabila kita memahami secara mendalam dan menyeluruh, kita bahkan dapat membuat rumus-rumus itu.

Tapi tak apa, saya memakluminya. Karena pada prinsipnya "sesuatu hal dapat di pahami dengan sempurna karena di hapalkan" ucap kiyai saya.

Nah, tips kali ini khusus menghafal rumus trigonometri yang di rasa sulit untuk di hafalkan
  • Rumus jumlah dan selisih sudut 
 
  • Rumus sudut rangkap dan persetengahan
 

  • Rumus hasil kali sinus dan kosinus
 
  • Rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus
 
Dengan mengikuti tips ini, kita dapat menghapal hampir semua rumus di atas dengan 4 kalimat. Penasaran ? Mari kita coba


JIKA SAYA SUKA SAMA CINTA 
MAKA SAYA SUKA CINTA SEJATI
JIKA CINTANYA CUCU CINTA CINTAAN
MAKA CINTANYA CUCU SEHIDUP SEMATI (TAPI BOHONG)

Sekilas, 4 kalimat di atas tidak ada yang spesial. Padahal,  jika di analisis lebih dalam kalimat-kalimat tersebut dapat merepresentasikan rumus-rumus trigonometri. Karena Alasan itu, saya menyebutnya kalimat-kalimat ajaib.
  • Analisis Awal
Dalam analisis tahap awal, kita hanya memaknai maksud kalimat-kalimat ajaib. 
Kalimat-kalimat ajaib di atas terdiri dari 4 kalimat. 
  1. Jika Saya Suka Sama Cinta
  2. Maka Saya Suka Cinta Sejati
  3. Jika Cintanya Cucu Cinta Cintaan
  4. Maka Cintanya Cucu Sehidup Semati (Tapi Bohong)
 Langkah pertama, kita ambil awal kalimat yang di warnai merah, maka :


Selanjutnya, kita memaknai dua kata yang ada di dalam tanda kurung "Tapi Bohong". Maksudnya, bohong disana berarti bertanda negatif, jadi :
Setelah itu, kita memisalkan S = Sin dan C = Cos.
  • Analisis Lanjutan
Pada analisis tahap lanjutan, kita mulai merepresentasikan kalimat-kalimat ajaib menjadi sebuah rumusan trigonometri. Sebelum pada tahap itu, kita harus menerapkan beberapa simbol matematika seperti '+' , '-', 'x' dan '=', maka :

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
Untuk menentukan rumus jumlah dan selisih sudut, kita hanya perlu memasukan unsur (A+B), (A+B), A, B serta syarat sebagai berikut;
  • Simbol Penjumlahan Tetap
  • Simbol Pengurangan Kebalikan
jika semua unsur dan syaratnya dimasukan kedalam formula maka akan menghasilkan :
 



Jadi : 
  • Sin (A+B) = Sin A x Cos B + Cos A x Sin B
  • Cos (A+B) = Cos A x Cos B - Sin A x Sin B
  • Sin (A-B) = Sin A x Cos B - Cos A x Sin B
  • Cos (A-B) = Cos A x Cos B + Sin A x Cos B

Rumus Hasil Kali Sinus dan Kosinus
Untuk menentukan rumus hasil kali sinus dan kosinus, hampir sama dengan menentukan rumus jumlah dan selisih sudut, hanya saja ada tambahan angka 2 setelah simbol '=' dan jangkauannya horizontal, maka menjadi :
Jadi :
  • Sin (A+B) + Sin (A-B) = 2 Sin A x Cos B
  • Sin (A+B) - Sin (A-B) = 2 Cos A x Sin B
  • Cos (A+B) + Cos (A-B) = 2 Cos A x Cos B
  • Cos (A+B) - Cos (A-B) = -2 Cos A x Cos B
Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus
Untuk menentukan rumus dan selisih sinus dan kosinus, ada sedikit kesamaan dalam hal penambahan angka 2, akan tetapi (A+B), (A-B), A, B dibalikan. yang semula (A+B) menjadi A, yang semula (A-B) menjadi B. dan ada satu penambahan lagi yaitu '1/2' sebelum (A+B) dan (A-B), maka menjadi :
 Jadi :
  • Sin A + Sin B = 2 Sin 1/2 (A+B) x Sin 1/2 (A-B)
  • Sin A - Sin B = 2 Cos 1/2 (A+B) x Sin 1/2 (A-B)
  • Cos A + Cos B = 2 Cos 1/2 (A+B) x Cos 1/2 (A-B)
  • Cos A - Cos B = -2 Sin 1/2 (A+B) x Sin 1/2 (A-B)
Rumus Sudut Rangkap dan Persetengahan 
Untuk membuat rumus sudut rangkap dan persetengahan tidak perlu memakai formula seperti rumus-rumus sebelumnya. Pada rumus ini, kita hanya perlu menjabarkan rumus jumlah dan selisih sudut menjadi sudut rangkap dan persetengahan
  1. Sin (A+B) = Sin A x Cos B + Cos A x Sin B
  2. Cos (A+B) = Cos A x Cos B - Sin A x Sin B
Misalkan :
  •  Sin 2A bisa di dialisis menjadi (menggunakan rumus 1) :
  • Cos 2A bisa di dialisis menjadi (menggunakan rumus 2) :

  • Sin 3A bisa di dialisis menjadi :
  •  Cos 3A bisa di dialisis menjadi :
  •  Sin 1/2 A bisa di dapat menggunakan :
  • Cos 1/2 A bisa di dapat menggunakan :
Kesimpulan
Dengan memakai kalimat-kalimat ajaib yang di analisis, kita dapat menentukan rumus-rumus trigonometri yang sulit untuk di hafalkan. Kelebihan Tips Menghafal Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah menggunakan cara di atas adalah memiliki fungsi universal/ satu formula untuk semua rumus dan saling berkaitan. Jadi dengan menggunakan satu gambar ini di bawah ini :
dengan mengetahui cara kerja dan syaratnya, saya yakin teman-teman dapat menuliskan kembali rumus-rumus trigonometri tanpa perlu menghafal, hanya memahami cara kerja formula ini.

Kekurangannya, untuk rumus Tangen belum bisa di aplikasikan pada formula ini. Untuk itu, apabila teman-teman ingin menyempurnakan formula ini, silahkan tulis di kolom komentar 

31 Desember 2016

Tips Menentukan Hari Menggunakan Konsep Modulo

Tak terasa, kita sudah berada di penghujung tahun 2016. Esok hari tahun sudah berganti menjadi 2017 yang kebetulan jatuh pada hari minggu. 

Kebetulan ? yakin sebuah kebetulan ? kalau saya pribadi tidak percaya itu. Selama manusia masih bisa berpikir, tidak ada suatu kebetulan di dunia ini. Semua sudah ada yang mengaturnya. Dialah sang pencipta. 

Lalu...jatuh pada hari apakah awal tahun 2018, 2019, 2020 sampai tahun n ? Nah,  sebagai manusia kita harus bisa memecahkan teka-teki itu. Dan menemukan pola untuk kejadian guna menentukan kejadian lainnya.

Dalam Matematika, ada sebuah istilah yang bernama modulo. Menurut Wikipedia, Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a dan b, a modulo b (disingkat a mod b) adalah bilangan bulat sisa pembagian a oleh b. Sederhananya, modulo merupakan sisa pembagian. Misalnya 3 merupakan sisa pembagian dari 8 mod 5. 2 merupakan sisa pembagian dari 7 mod 5 dan seterusnya. 

Saya anggap teman-teman sudah memahami konsep modulo. Karena pada postingan ini merupakan penerapan konsep modulo pada kehidupan khususnya sistem modulo 7 (0,1,2,3,4,5,6). Jadi, sudah menjadi syarat utama untuk memahami konsep modulo sebelum  memahami penerapannya kan ?

Baiklah, karena kita akan menebak/ menentukan hari pada awal sebuah tahun, maka sudah semestinya kita mengetahui tanggal, bulan, dan tahun yang akan di tentukan harinya. Misalnya, pada esok hari merupakan awal tahun 2017 maka tanggalnya adalah 01 bulannya Januari dan Tahunnya 2017. Jadi, kita akan mencari 01 Januari 2017 merupakan hari apa ? mudah sekali, jawabannya pasti minggu (karena sekarang merupakan hari sabtu yang selang 1 hari). Tapi apakah kalian mengetahui 01 Januari 2018, 01 Januari 2019, atau 01 Januari 2020 jatuh pada hari apa ? Jawabannya akan saya uraikan pada penjelasan di bawah ini.

1. Sistem Modulo 7
Sebelum mengetahui tanggal, bulan dan tahun yang akan kita tentukan harinya. Langkah awal adalah memahami sistem modulo 7 (0,1,2,3,4,5,6). Kenapa modulo 7 ? karena jumlah semua hari selama seminggu adalah 7 (senin, selasa, rabu, kamis, jum'at, sabtu dan minggu). Dan setelah di analisis, ternyata ada sebuah pola tertentu dalam sistem modulo 7 ini. Lambang 0 (sisa 0) menyatakan hari Sabtu. Lambang 1 (sisa 1) menyatakan hari Minggu. Lambang 2 (sisa 2) menyatakan Senin. Lambang 3 (sisa 3) menyatakan hari Selasa. Lambang 4 (sisa 4) menyatakan hari Rabu. Lambang 5 (sisa 5) menyatakan hari Kamis. Dan lambang 6 (sisa 6) menyatakan hari Jum'at.

Gambar 1. Sistem Modulo 7

2. Tahun Kabisat atau Non Kabisat
Setelah memahami tentang sistem modulo 7, selanjutnya kita harus memahami tahun kabisat atau non kabisat. Tahun kabisat adalah tahun yang dapat di bagi 4 (tidak bersisa), misalnya tahun 2016 merupakan tahun kabisat karena 2016 : 4 = 504. Sebuah Tahun dinyatakan kabisat atau non kabisat berpengaruh pada perhitungan. Karena pada tahun kabisat  366 hari (Februari ada 29 hari), sedangkan pada tahun non kabisat 365 hari (Februari ada 28 hari).

Gambar 2. Jumlah Hari pada Tahun Non Kabisat
Gambar 3. Jumlah Hari pada Tahun Kabisat

3. Melakukan Perhitungan
Setelah memahami sistem modulo 7 dan tahun kabisat dan non kabisat, sekarang saatnya kita langsung melakukan perhitungan. Dengan Rumus di bawah ini :

X + Y + Z = S (Modulo 7)
  1. X = U-1 (U = Jumlah Tahun)
  2. Y = Bilangan Bulat dari (X/4)
  3. Z = Jumlah hari dari tanggal 1 Januari sampai tanggal yang di cari (lihat gambar 2 dan 3)
  4. S = Sisa pembagian modulo 7 (lihat gambar 1)
Contoh, kita akan mencari 01 Januari 2020 jatuh pada hari apa.
  • Langkah pertama adalah mengidentifikasi Tahun kabisat atau non kabisat. 
2020 merupakan tahun kabisat, karena 2020 : 4 = 505 (tidak bersisa), maka jumlah harinya adalah 366 (Februari 29 Hari).
  • Langkah kedua adalah mencari X.
X didefinisikan sebagai jumlah tahun di kurangi satu, maka 2020-1 = 2019
  • Langkah ketiga adalah mencari Y.
Y di definisikan sebagai Bilangan bulat terbesar dari X : 4, maka 2019 : 4 = 504,75 (504) 
  • Langkah keempat adalah menghitung Z.
Z di definisikan sebagai jumlah hari dari tanggal 1 Januari ke tanggal yang di cari. Karena tanggal yang di cari adalah 1 Januari maka Z = 1
  • Langkah kelima adalah mencari S dengan menjumlahkan X + Y + Z mod 7
S didefinisikan sebagai sisa pembagian dari X + Y + Z mod 7, karena 2019 + 504 + 1 = 2524. maka 2524 mod 7 akan menghasilkan S. Sisa pembagian 2524 dari 7 adalah 4. (bisa di cek 2524 : 7 = 4). Jadi S = 4.
  • Langkah terakhir adalah mencocokan nilai S (lihat gambar 1).
Karena 4 merupakan hari Rabu, maka 01 Januari 2020 jatuh pada hari Rabu. Jika masih ragu, bisa diperkuat dengan menggunakan kalender online seperti di bawah ini.

Ternyata Benar !! 01 Januari 2020  jatuh pada hari Rabu. 

Mudah kan ? Silahkan teman-teman mecoba bereksplorasi dengan berbagai tanggal, seperti hari ulang tahun, tanggal-tanggal penting dsb. GOOD LUCK !!

23 Desember 2016

Kapan Manusia Mulai Mengenal Bilangan ?

Matematika tidak hanya tentang bilangan. Bilangan hanya merupakan salah satu cabang dari matematika. Namun, bilangan ada dan berperan penting bagi kehidupan kita.
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Dalam matematika, konsep bilangan meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional dan bilangan kompleks. Sedangkan angka adalah simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah. Misalnya, untuk membandingkan dua kelompok kupu-kupu yang berbeda, mereka hanya bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua kelompok kupu-kupu itu. Akan tetapi kepastian jumlah tentang milik seseorang atau milik orang lain mulai dibutuhkan, sehingga mulai mengenal dan belajar perhitungan sederhana.
Namun dalam perkembangannya para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan. Maka Matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tidak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi, ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta aspek kehidupan lainnya.
Sistem bilangan berawal dari zaman Paleolitikum atau zaman batu tua. Sistem yang digunakan adalah korespondensi satu-satu dengan banyaknya benda yang dihitung. 
 

Karena sistem tersebut tidak praktis, maka di Persia pada abad ke-5 SM terjadi suatu perkembangan sistem bilangan yaitu dengan digunakannya simpul-simpul yang disusun pada tali.
Pada abad ke-15 SM, suku Inca menggunakan sistem yang sama dengan mengembangkan quipu, yaitu suatu tali yang disusun secara horizontal dimana dari tali tersebut digantung berbagai macam benang. Jenis simpul yang digunakan, panjang dari tali dan warna serta posisi benang menandakan tingkatan kuantitas satuan, puluhan serta ratusan.  
Beberapa peradaban juga menggunakan sistem bilangan untuk mempresentasikan banyaknya objek yang berbeda-beda yaitu dengan menggunakan batu tanah liat yang disebut calculi (bahasa latin dari calculi yaitu calculus). Tanah liat yang bangsa Sumeria tersebut digunakan pada abad ke-4 SM. Batu tanah liat yang berbentuk kerucut mewakili banyaknya satu objek, yang berbentuk bola mewakili banyaknya sepuluh, dan batu tanah liat besar yang berbentuk kerucut mewakili enam puluh.
Penulisan lambang bilangan selanjutnya dilakukan terus menerus oleh beberapa bangsa, diantaranya sebagai berikut :
  • Pada 500 SM, bangsa Maya di Amerika mengembangkan penulisan lambang bilangan (angka) yang menggunakan lambang-lambang pokok. 
  • Orang-orang Mesir Kuno menggunakan Hieroglif untuk menuliskan bilangan-bilangan.
  • Pada abad ke-11 SM, bangsa Arab menulis lambang bilangan dari 1 sampai 9 seperti yang ada dan terus dipakai sampai saat ini oleh orang-orang Islam di seluruh dunia.
  • Bangsa Yunani Kuno menulis bilangan dengan menggunakan huruf abjad yang mereka pakai dalam menulis ditambah tiga lambang khusus. 
  • Bangsa Cina Kuno, mereka memulai bilangan dengan membuat garis-garis seperti batang.
  • Bangsa Romawi menggunakan angka-angka sebagai sistem bilangan Romawi berbentuk huruf-huruf. Angka Romawi ini masih dipergunakan hingga saat ini untuk penulisan nomor bab dalam beberapa buku atau karya ilmiah.  
  • Perkembangan selanjutnya, angka Hindu Arab Kuno ditemukan manuskrip Spanyol abad X dan menjadi cikal bakal bagi angka-angka yang dipakai sekarang ini.
Jadi, bilangan yang kita kenal ini pertama kali ditemukan pada zaman Paleolitikum (zaman batu tua). Zaman-zaman sebelumnya mungkin sudah mengenal, namun belum adanya bukti akan hal tersebut. Pada zaman Paleolitikum, manusia sudah mulai menyimbolkan bilangan, walaupun hanya menggoreskan garis. Baik itu pada dinding goa, batu dan lain sebagainya.
Dengan adanya bilangan kita mampu mematematisasi semua yang ada di dunia. Baik itu dalam hal keuangan, pelajaran dan sebagainya. Disamping hal itu, penulis berharap semoga dengan adanya tulisan essai tentang kapan manusia mulai mengenal bilangan dapat menambah wawasan serta bermanfaat bagi pembacanya.
Dikirim oleh : Jajang Nuralim-Mahasiswa Pendidikan Matematika UNSIL
jajangnuralim@gmail.com

DAFTAR PUSTAKA
https://id.m.wikipedia.org/wiki/Bilangan
https://safitri120035.wordpress.com/2012/12/09/cinta-dan-matematika/
https://id.m.wikipedia.org/wiki/Sejarah_dunia
https://zoneofmath.wordpress.com/teori-bilangan/
www.zakapedia.com/2013/02/sejarah-bilangan-dan-perkembangannya.html?m=1
www.mallthematics.blogspot.com/2013/04/sejarah-bilangan.html

01 Desember 2016

Tips Mengetahui Langkah-Langkah Penyelesaian Soal Matematika di Maple


Pernahkah teman-teman merasa kesal karena menyelesaikan permasalahan matematika "langsung hasilnya" tanpa ada langkah-langkah penyelesaian di aplikasi berbasis CAS ? seperti GeoGebra, Microsoft Mathematics dan sebagainya ? 

Tenang saja, sekarang FloMath bakalan bagiin Tips buat teman-teman semua, yaitu "Tips Mengetahui Langkah-langkah Penyelesaian Soal Matematika di Maple". Yah, pada postingan kali ini, saya memakai salah satu fitur pada Aplikasi Maple besutan Maplesoft untuk mengetahui Langkah-langkah penyelesaian soal matematika.



Dengan Memakai salah satu fitur yang ada di Aplikasi Maple, yakni fitur TUTORS kita dapat melihat langkah-langkah dari persoalan matematika yang di tanyakan. Fitur TUTORS ini hampir mirip dengan tutor dalam kehidupan nyata. Fungsinya sama-sama memberi penjelasan secara terstruktur dan detail, termasuk memperlihatkan langkah-langkah dalam penyelesaian permasalahan.

Untuk masuk ke fitur TUTORS ini, teman-teman dapat langsung mengklik toolbar "tool-tutors"



Pada Tutor sendiri, ada beberapa pilihan sebagai berikut 





Misalkan, teman-teman ingin mencari sebuah integral sebagai berikut :
Maka langkah pertama adalah masuk ke menu tool-tutors-calculus single variable (variable satu)-Integrations Methods..



Maka akan muncul kotak dialog seperti di atas. Selanjutnya teman-teman hanya memasukan fungsi integral yang akan di cari, yakni memakai metode standar (baca : Tips Menulis Equations dengan Cepat di MS Word). 


Karena integral di atas merupakan integral tak tentu (tanpa batas atas dan bawah) maka kotak dialog from - to dikosongkan. Selanjutnya tinggal klik "All Steps" maka akan langsung muncul langkah-langkahnya ..


Selebihnya, teman-teman tinggal bereksplorasi dengan soal-soal yang lebih kompleks dan materi yang kompleks juga tidak integral saja. Nah, bagi teman-teman yang belum mempunyai Aplikasi Maple, dapat mengunjungi postingan sebelumnya (baca : Aplikasi Maple 18. Full Version for Windows x64/x86)

25 November 2016

Cara Memperoleh Variabel Peubah dari Satu Persamaan Linear


Setelah kemarin FloMath memposting beberapa Aplikasi Matematika. Pada kesempatan kali ini FloMath akan membahas mengenai "Cara Memperoleh Variabel Peubah dari Satu Persamaan Linear".

Pernahkan teman-teman berhadapan dengan sebuah soal persamaan linear yang mengharuskan teman-teman mencari variabel peubah hanya dari satu persamaan linear saja ? Jika pernah, mungkin teman-teman akan kesulitan menentukan variabel peubahnya (yang paling familiar x dan y). Kenapa ? karena biasanya untuk mencari variabel peubah suatu persamaan linear dibutuhkan paling sedikit sama dengan jumlah peubahnya. Artinya, jika terdapat peubah x dan y dalam sebuah persamaan linear, maka untuk mencari x dan y sekurang-kurangnya haruslah terdapat dua persamaan  linear.

Contoh:
Sebuah boneka dijual seharga 7 dolar dan mainan robot dijual seharga 18 dolar. Sebuah toko mainan menjual 25 boneka dan mainan robot dengan total harga 208 dolar. Berapa banyak boneka dan mainan robot yang di jual ?

Solusi :
Misalnya x adalah banyaknya boneka dan y adalah banyaknya mainan robot. Maka kita memiliki dua persamaan dengan dua peubah yang belum diketahui nilainya


Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai cara, bisa dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan subtitusi-eliminasi. Tapi mungkin akan lebih mudah dengan metode substitusi dengan cara mengubah persamaan pertama menjadi : x = 25 - y lalu kita substitusikan ke persamaan kedua:


Selanjutnya, kita substitusikan y = 3 kedalam persamaan awal, baik ke persamaan satu atau dua. Misalnya, saya substitusikan y = 3 ke persamaan pertama yakni, x + y = 25, maka akan diperoleh nilai x = 22.

Dalam contoh di atas terdapat dua pernyataan sehingga menghasilkan dua persamaan linear. Tapi bagaimana jika persamaan pertama : x + y = 25 kita hilangkan. Apakah dapat di cari solusinya ?
Ini yang menjadi permasalahan yang saya ingin cari solusinya pada postingan kali ini.

Sekarang kita lihat persoalan yang lebih menarik :
Misalnya sebuah boneka dijual seharga 7 dolar dan mainan robot dijual seharga 18 dolar. Sebuah toko menerima 208 dolar dari hasil penjualan tersebut. Berapa banyaknya boneka dan mainan robot yang dijual ?

Persoalan ini mirip dengan persoalan sebelumnya, namun kali ini kita hanya diberikan satu persamaan :

Dalam aljabar linear kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan linear, kita membutuhkan persamaan paling sedikit sebanyak jumlah peubah. Pada soal diatas terdapat dua peubah : x dan y dengan hanya satu persamaan. Tapi, ada satu tambahan kunci dalam soal diatas, yaitu banyaknya boneka dan mainan robot tidak mungkin pecahan (bilangat bulat positif). Maka persamaan tersebut dapat dituliskan 


Sekarang, kita mulai dengan mengubah bentuk persamaan di atas:


Kelihatannya, kita belum menyelesaikan apapun, tapi karena y adalah sebuah bilangan bulat, jadi pastilah nilai (29 - 2y) dan (5 - 4y)/7 juga bilangan bulat. Misalnya, kita sebut (5 - 4y)/7 dengan a sehingga menghasilkan persamaan :


Seperti sebelumnya, disini kita belum menemukan solusi persamaan, tapi sekarang persamaan terlihat menjadi lebih sederhana karena pembagi lebih kecil. Pembagi semula 7 kini 4.

Kita tahu, bahwa a adalah bilangan bulat dan 1 - a pastilah juga bilangan bulat. Sehingga (1 - 3a)/4 juga bilangan bulat dan kita sebut dengan b. Sekarang kita ulangi langkah di atas untuk b.


Dengan alasan yang sama dengan sebelumnya. (1 - b)/ 3 pasti adalah bilangan bulat dan kita sebut c.

Sekarang dapat dilihat bahwa berapapun bilangan bulat c, b, akan menjadi bilangan bulat. Dengan menyubstitusi b ke persamaan sebelumnya dan didapat :


Sekarang kita substitusikan a untuk mendapatkan y.


Akhirnya kita dapat menyubstitusikan y pada persamaan persamaan di atas ke persamaan ;


sehingga x = 22 + 18c dan y = 3 - 7c. Jika c = 0 kita memperoleh solusi yang sama dengan persoalan sebelumnya yaitu x = 22 dan y = 3. Akan tetapi, untuk bilangan bulat c yang berbeda akan menghasilkan hasil yang berbeda terhadap x dan y. Kita dapat lihat bahwa nilai positif c akan mengakibatkan nilai negatif bagi y. Sedangkan nilai negatif tjelas salah dalam persoalan ini. Jadi, untuk menghasilkan nilai positif bagi x dan y, hanya mungkin jika c = 0 atau c = -1. Dengan menyubstitusikan c maka untuk jawaban yang benar, c haruslah bernilai 0.

Kesimpulannya, Untuk mencari variabel peubah dari satu persamaan linear, variabel peubahnya haruslah  anggota bilangan bulat atau bisa juga di sebut dengan Persamaan Diophantine Linear. Sebenarnya, cara yang efektif dan efisien dalam menyelesaikan soal di atas adalah dengan persamaan diophantine, baik dengan cara algoritma euclidean ataupun menggunakan konsep modulo. Akan tetapi, saya tidak akan membahasnya sekarang, mungkin di postingan yang akan datang.