02 Oktober 2018

Batik Matematika


Latar Belakang

Batik adalah warisan seni budaya Bangsa Indonesia yang telah diakui oleh United Nation Educational, Scientific and Cultural (UNESCO) pada tanggal 2 Oktober 2009. Batik sebagai warisan budaya menjadi ikon budaya bangsa Indonesia yang unik dan harus dilestarikan.  dan  Batik Matematika adalah batik yang di desain berdasarkan simbol-simbol matematika.

Matematika adalah bahasa, yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat (Johnson dan Rising: 1972). Ketepatan dan keakuratan dari ilmu matematika menghasilkan keindahan baik dalam pola angka maupun pola yang diimplementasikan pada sebuah bentuk ataupun bangunan. Salah satu keindahan matematika dapat dituangkan dalam pola teratur yang indah, yaitu pada batik. Berikut ini batik-batik dengan motif matematika.

1. Batik Himpunan

Gambar 1. Batik Himpunan

Batik himpunan adalah batik dengan pola dasar penyusunya merupakan simbol-simbol yang terdapat pada salah satu cabang ilmu dalam matematika, yaitu himpunan. Batik tersebut disusun dari beberapa simbol, diantaranya:
  1. {}, yaitu kurung kurawal yang tidak memiliki isi yang berarti himpunan kosong. Hal tersebut memiliki makna bahwa dalam kehidupan itu pasti seseorang pernah merasakan kekosongan pada jiwanya, maka kekosongan tersebut haruslah diisi dengan rasa cinta, sehingga apa pun perbuatan yang didasari akan cinta akan terasa ringan dan lebih bermakna.
  2. ∩, yaitu irisan yang berarti apa-apa yang sama diantara himpunanhimpunan. Hal tersebut memiliki makna bahwa manusia itu diciptakan berbeda-beda, akan tetapi pada hakikatnya akan ada kesamaan, karena kita semua berasal dari satu turunan yang sama yaitu Nabi Adam a.s. sehingga dengan adanya kesamaan itu akan menimbulkan rasa kekeluargaan dan kasih sayang.
  3. ∞, yaitu tak terhingga. Hal tersebut memiliki makna bahwa betapa tak terhingganya nikmat nikmat yang telah Alloh SWT berikan kepada manusia, sehingga sudah sepatutnya manusia sebagai mahluk yang terbatas selalu mengingat dan beribadah kepada Yang Maha Tak Terhingga Kasih Sayang-Nya.
Dengan pola dasar :
Keterangan :
{} : Himpunan kosong
∩  : Irisan (Himpunan)
∅ : Himpunan kosong
∞  : Tak terhingga

2. Batik Trigonometri

Gambar 2. Batik Trigonometri

Batik geometri adalah batik yang disusun dari segitiga-segitiga yang merupakan bangun geometri. Segitiga tersebut memiki makna bahwa dalam kehidupan ini ada sebuah sistem yang satu sama lain saling mempengaruhi dan tidaklah bisa hilang salah satunya, yaitu Tuhan, manusia dan alam. Dimana Tuhan akan selalu berada pada titik tertinggi, sebagai tujuan ahir dari segala rangkaian kehidupan di dunia ini.
Dengan pola dasar :
Keterangan :

Segitiga (Geometri)

 

3. Batik MAPI (Sigma Pi)

Gambar 3. Batik MAPI

Batik MAPI adalah batik yang disusun dari simbol sigma dan pi. Sigma yang berarti jumlah, memiliki makna bahwa dalam kehidupan ini akan ada suatu masa dimana seluruh manusia berkumpul, dilakukan perhitungan dan pertanggungjawaban atas apa yang dilakukannya selama di dunia, dan disanalah diputuskan kemanakah tempat kembalinya sebagai kehidupan selanjutnya yang abadi. Adapun pi, pi disini bernilai 180 derajat, memiliki makna bahwa jikakita ibaratkan kehidupan ini adalah suatu lingkaran, lalu dibuat garis diameter lingkran yang horizontal, maka setengah dari lingkaran (180 derajat) yang terdapat diatas garis diameter itu adalah kehidupan kita di dunia, akan tetapi setengah lingkaran lagi yang berada di bawah garis diameter, itu adalah kehidupan di akhirat yang ghaib dan tidak kita ketahui.
Dengan Pola dasar :
Keterangan :
Π : Pi (180 derajat)
Σ : Sigma
∇: Gradien (kalkulus)

4. Batik Integral

Gambar 4. Batik Integral

Batik integral adalah batik yang disusun dari simbol-simbol yang terdapat pada matematika, yaitu integral (∫), isomorphism (≈), jika hanya jika (⇔), kongruen (≡), dan pi (Π).

Dengan Pola dasar :
Keterangan :
≈  : Isomorphism (Teori Grup)
⇔ : Jika hanya jika (Logika)
∫   : Integral
≡  : Kongruen
Π : Pi (180 derajat)

5. Batik Trigonometri

 Gambar 5. Batik Trigonometri

Batik trigonometri adalah batik yang disusun dari simbol-simbol yang terdapat pada salah satu cabang ilmu matematika yaitu trigonometri, diantaranya yaitu sin, cos, tan, alpha
(α), betha (β), dan theta (θ) yang dipadukan dengan salah satu sistem numerasi alphabet yunani yaitu obeselet digamma (ζ). 

Sin, cos dan tan memiliki makna yaitu tiga serangkai dengan indahnya hubungan antar garis pada sebuah segitiga. Adapun pada tan sendiri, dibalik indahnya grafik tan, ada sesuatu yang unik pada grafik tersebut.

Pada garfik tan, ada garis melengkung dan sangat indah yang berusaha mendekati suatu garis lurus tertentu (garis pada derajat 90 dan 270), namun tidak menyinggungnya sama sekali apalagi memotongnya. Hal ini memiliki makna yaitu berusaha untuk terus mendekatinya, tapi tidak akan pernah bersatu. Berusaha ada di dekat seseorang yang dikagumi, tanpa ada keinginan untuk menyakitinya dan sadar dengan sepenuhnya bahwa menjadi satu terkadang bukan pilihan yang bijak (filosofi asimtot).

Dengan Pola dasar :
Keterangan :
α     : Alpha
β     : Betha
θ     : Theta
Sin  : Sinus
Cos : Cosinus
ζ      : Obselet Digamma (Alphabet Yunani)

6. Batik Alphabet Yunani

Gambar 6. Batik Alphabet Yunani

Batik alphabet yunani adalah batik yang disusun dari simbol-simbol pada sistem numerasi alphabet yunani mulai dari 1-10 yaitu alpha (α), betha (β), gamma (γ), delta (δ), epsilon (ε), obselet digamma (ζ), zetta (ϟ), etta (η), theta (θ), dan iota (ι). Sistem numerasi alphabet yunani ini memiliki simbol-simbol yang unik, sehingga memiliki nilai estetika saat disusun menjadi pola teratur dan dituangkan kedalam sebuah karya seni berupa batik.

Dengan pola dasar :

Keterangan :
1 = α = alpha
2 = β = betha
3 = γ = gamma
4 = δ = delta
5 = ε = epsilon
6 = ζ = obselet digamma
7 = ϟ = zetta
8 = η = etta
9 = θ = theta
10 = ι =iota

7. Batik Mesir Kuno

Gambar 7. Batik Mesir Kuno

Batik mesir kuno yaitu batik yang disusun dari simbol-simbol sistem numerasi mesir kuno, yang dipadukan dengan motif-motif bunga yang disusun dari delta (δ) pada sistem numerasi alphabet yunani.

Dengan pola dasar :

Keterangan :


 

 

 

 

 

 

8. Batik Betha

Gambar 8. Batik Betha

Batik betha adalah batik yang disusun dari simbol pada matematika yaitu betha (β), yang dipadukan dengan bentuk-bentk geometri diantaranya segitiga, ¾ lingkaran penuh dan lingkaran yang lonjong. Keindahan matematika itu selain terdapat pada simbol-simbolnya yang unik, keindahan itu juga terdapat pada bentuk-bentuk geometrinya, sehingga dapat menghasilkan sesuatu yang yang memiliki nilai keindahan.
Dengan pola dasar :
Keterangan :
: Betha


: Segitiga

: ¾ Lingkaran Penuh

: Elips






9. Batik 236

Gambar 9. Batik 236

Batik 236 adalah adalah batik yang disusun dari angka-angka pada hindu arab, yaitu angka 2, angka 3, dan angka 6, yang dipadukan dengan ¾ lingkaran penuh sehingga mengahsilkan pola teratur yang memiliki nilai estetika atau keindahan.

Dengan pola dasar :
Keterangan
2 : dua (angka)
3 : tiga (angka)
6 : enam (angka)

10. Batik PEN (Pound Euro Yen)

Gambar 10. Batik PEN

Batik PEN yaitu batik yang disusun dari simbol pound, euro, dan yen, yang dipadukan dengan tanda kurung biasa dan kurung persegi. Kemudian disusun sedemikian rupa sehingga menjadi suatu pola teratur yang memiliki nilai estetika.
Dengan pola dasar :
Keterangan :
( ) : Penerapan Fungsi (missal f(x))
[ ] : Kurung Persegi
£   : Pound Sign
€   : Euro Sign
¥   : Yen Sign

Kesimpulan

Berdasarkan paparan di atas, dapat disimpulkan bahwa matematika itu unik. Matematika tidak hanya merupakan suatu perhitunganperhitungan yang menjenuhkan, akan tetapi juga memiliki nilai estetika. Matematika merupakan bahasa yang disampaikan dalam bentuk simbol-simbol, dan dengan menyusun simbol-simbol matematika yang unik itu menjadi suatu pola teratur, maka akan menghasilkan suatu karya yang memiliki nilai estetika yang tinggi, yaitu Batik Motif Matematik.

Ini hanya sebagian kecil dari batik motif matematika. Matematika itu luas, masih banyak keunikankeunikan matematika yang belum terungkap. Oleh karena itu, kembangkan lagi imajinasinya, buat motif-motif keren lainya dan cetak batik motif matematik ini, sehingga dapat menjadi aset berharga di pendidikan matematika Universitas Siliwangi.

Daftar Pustaka

http://googleweblight.com/?lite_url=http://feribarca.blogsot.com/2012/04/matematika-sebagai-seni.html 

http://anisadahliaipa4batik.weebly.com/keistimewaan-batik.html 

http://cheminlove.blogspot.co.id/2009/01/asimtot-mendekat-tetapitidak-menyatu.html?=1 

27 Januari 2017

Tips Menghafal Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah

Sudah cukup lama FloMath tidak menyapa teman-teman. Akhirnya, pada kesempatan ini FloMath dapat berbagi sedikit ilmu mengenai "Tips Menghafal  Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah".

Tentunya, sudah bukan rahasia umum lagi, bahwa trigonometri merupakan salah satu bab yang jadi momok menakutkan, khususnya bagi pelajar Sekolah Mengengah Atas. Alasannya juga berbeda-beda. Tapi, kebanyakan yang menjadi penyebabnya adalah Rumus Trigonometri yang banyak dan beragam sehingga sulit untuk dihapalkan.

Sejujurnya, postingan ini juga di latarbelakangi oleh salah satu member FloMath yang mengeluh tentang sulitnya menghapal rumus-rumus trigonometri. Dan meminta saya untuk membagikan  "Tips Menghafal  Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah". Padahal, bukan suatu alasan Trigonometri di anggap sulit dan menakutkan karena banyaknya rumus. Karena apabila kita memahami secara mendalam dan menyeluruh, kita bahkan dapat membuat rumus-rumus itu.

Tapi tak apa, saya memakluminya. Karena pada prinsipnya "sesuatu hal dapat di pahami dengan sempurna karena di hapalkan" ucap kiyai saya.

Nah, tips kali ini khusus menghafal rumus trigonometri yang di rasa sulit untuk di hafalkan
  • Rumus jumlah dan selisih sudut 
 
  • Rumus sudut rangkap dan persetengahan
 

  • Rumus hasil kali sinus dan kosinus
 
  • Rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus
 
Dengan mengikuti tips ini, kita dapat menghapal hampir semua rumus di atas dengan 4 kalimat. Penasaran ? Mari kita coba


JIKA SAYA SUKA SAMA CINTA 
MAKA SAYA SUKA CINTA SEJATI
JIKA CINTANYA CUCU CINTA CINTAAN
MAKA CINTANYA CUCU SEHIDUP SEMATI (TAPI BOHONG)

Sekilas, 4 kalimat di atas tidak ada yang spesial. Padahal,  jika di analisis lebih dalam kalimat-kalimat tersebut dapat merepresentasikan rumus-rumus trigonometri. Karena Alasan itu, saya menyebutnya kalimat-kalimat ajaib.
  • Analisis Awal
Dalam analisis tahap awal, kita hanya memaknai maksud kalimat-kalimat ajaib. 
Kalimat-kalimat ajaib di atas terdiri dari 4 kalimat. 
  1. Jika Saya Suka Sama Cinta
  2. Maka Saya Suka Cinta Sejati
  3. Jika Cintanya Cucu Cinta Cintaan
  4. Maka Cintanya Cucu Sehidup Semati (Tapi Bohong)
 Langkah pertama, kita ambil awal kalimat yang di warnai merah, maka :


Selanjutnya, kita memaknai dua kata yang ada di dalam tanda kurung "Tapi Bohong". Maksudnya, bohong disana berarti bertanda negatif, jadi :
Setelah itu, kita memisalkan S = Sin dan C = Cos.
  • Analisis Lanjutan
Pada analisis tahap lanjutan, kita mulai merepresentasikan kalimat-kalimat ajaib menjadi sebuah rumusan trigonometri. Sebelum pada tahap itu, kita harus menerapkan beberapa simbol matematika seperti '+' , '-', 'x' dan '=', maka :

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
Untuk menentukan rumus jumlah dan selisih sudut, kita hanya perlu memasukan unsur (A+B), (A+B), A, B serta syarat sebagai berikut;
  • Simbol Penjumlahan Tetap
  • Simbol Pengurangan Kebalikan
jika semua unsur dan syaratnya dimasukan kedalam formula maka akan menghasilkan :
 



Jadi : 
  • Sin (A+B) = Sin A x Cos B + Cos A x Sin B
  • Cos (A+B) = Cos A x Cos B - Sin A x Sin B
  • Sin (A-B) = Sin A x Cos B - Cos A x Sin B
  • Cos (A-B) = Cos A x Cos B + Sin A x Cos B

Rumus Hasil Kali Sinus dan Kosinus
Untuk menentukan rumus hasil kali sinus dan kosinus, hampir sama dengan menentukan rumus jumlah dan selisih sudut, hanya saja ada tambahan angka 2 setelah simbol '=' dan jangkauannya horizontal, maka menjadi :
Jadi :
  • Sin (A+B) + Sin (A-B) = 2 Sin A x Cos B
  • Sin (A+B) - Sin (A-B) = 2 Cos A x Sin B
  • Cos (A+B) + Cos (A-B) = 2 Cos A x Cos B
  • Cos (A+B) - Cos (A-B) = -2 Cos A x Cos B
Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus
Untuk menentukan rumus dan selisih sinus dan kosinus, ada sedikit kesamaan dalam hal penambahan angka 2, akan tetapi (A+B), (A-B), A, B dibalikan. yang semula (A+B) menjadi A, yang semula (A-B) menjadi B. dan ada satu penambahan lagi yaitu '1/2' sebelum (A+B) dan (A-B), maka menjadi :
 Jadi :
  • Sin A + Sin B = 2 Sin 1/2 (A+B) x Sin 1/2 (A-B)
  • Sin A - Sin B = 2 Cos 1/2 (A+B) x Sin 1/2 (A-B)
  • Cos A + Cos B = 2 Cos 1/2 (A+B) x Cos 1/2 (A-B)
  • Cos A - Cos B = -2 Sin 1/2 (A+B) x Sin 1/2 (A-B)
Rumus Sudut Rangkap dan Persetengahan 
Untuk membuat rumus sudut rangkap dan persetengahan tidak perlu memakai formula seperti rumus-rumus sebelumnya. Pada rumus ini, kita hanya perlu menjabarkan rumus jumlah dan selisih sudut menjadi sudut rangkap dan persetengahan
  1. Sin (A+B) = Sin A x Cos B + Cos A x Sin B
  2. Cos (A+B) = Cos A x Cos B - Sin A x Sin B
Misalkan :
  •  Sin 2A bisa di dialisis menjadi (menggunakan rumus 1) :
  • Cos 2A bisa di dialisis menjadi (menggunakan rumus 2) :

  • Sin 3A bisa di dialisis menjadi :
  •  Cos 3A bisa di dialisis menjadi :
  •  Sin 1/2 A bisa di dapat menggunakan :
  • Cos 1/2 A bisa di dapat menggunakan :
Kesimpulan
Dengan memakai kalimat-kalimat ajaib yang di analisis, kita dapat menentukan rumus-rumus trigonometri yang sulit untuk di hafalkan. Kelebihan Tips Menghafal Rumus-rumus Trigonometri dengan Cepat dan Mudah menggunakan cara di atas adalah memiliki fungsi universal/ satu formula untuk semua rumus dan saling berkaitan. Jadi dengan menggunakan satu gambar ini di bawah ini :
dengan mengetahui cara kerja dan syaratnya, saya yakin teman-teman dapat menuliskan kembali rumus-rumus trigonometri tanpa perlu menghafal, hanya memahami cara kerja formula ini.

Kekurangannya, untuk rumus Tangen belum bisa di aplikasikan pada formula ini. Untuk itu, apabila teman-teman ingin menyempurnakan formula ini, silahkan tulis di kolom komentar 

31 Desember 2016

Tips Menentukan Hari Menggunakan Konsep Modulo

Tak terasa, kita sudah berada di penghujung tahun 2016. Esok hari tahun sudah berganti menjadi 2017 yang kebetulan jatuh pada hari minggu. 

Kebetulan ? yakin sebuah kebetulan ? kalau saya pribadi tidak percaya itu. Selama manusia masih bisa berpikir, tidak ada suatu kebetulan di dunia ini. Semua sudah ada yang mengaturnya. Dialah sang pencipta. 

Lalu...jatuh pada hari apakah awal tahun 2018, 2019, 2020 sampai tahun n ? Nah,  sebagai manusia kita harus bisa memecahkan teka-teki itu. Dan menemukan pola untuk kejadian guna menentukan kejadian lainnya.

Dalam Matematika, ada sebuah istilah yang bernama modulo. Menurut Wikipedia, Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Misalkan dua bilangan a dan b, a modulo b (disingkat a mod b) adalah bilangan bulat sisa pembagian a oleh b. Sederhananya, modulo merupakan sisa pembagian. Misalnya 3 merupakan sisa pembagian dari 8 mod 5. 2 merupakan sisa pembagian dari 7 mod 5 dan seterusnya. 

Saya anggap teman-teman sudah memahami konsep modulo. Karena pada postingan ini merupakan penerapan konsep modulo pada kehidupan khususnya sistem modulo 7 (0,1,2,3,4,5,6). Jadi, sudah menjadi syarat utama untuk memahami konsep modulo sebelum  memahami penerapannya kan ?

Baiklah, karena kita akan menebak/ menentukan hari pada awal sebuah tahun, maka sudah semestinya kita mengetahui tanggal, bulan, dan tahun yang akan di tentukan harinya. Misalnya, pada esok hari merupakan awal tahun 2017 maka tanggalnya adalah 01 bulannya Januari dan Tahunnya 2017. Jadi, kita akan mencari 01 Januari 2017 merupakan hari apa ? mudah sekali, jawabannya pasti minggu (karena sekarang merupakan hari sabtu yang selang 1 hari). Tapi apakah kalian mengetahui 01 Januari 2018, 01 Januari 2019, atau 01 Januari 2020 jatuh pada hari apa ? Jawabannya akan saya uraikan pada penjelasan di bawah ini.

1. Sistem Modulo 7
Sebelum mengetahui tanggal, bulan dan tahun yang akan kita tentukan harinya. Langkah awal adalah memahami sistem modulo 7 (0,1,2,3,4,5,6). Kenapa modulo 7 ? karena jumlah semua hari selama seminggu adalah 7 (senin, selasa, rabu, kamis, jum'at, sabtu dan minggu). Dan setelah di analisis, ternyata ada sebuah pola tertentu dalam sistem modulo 7 ini. Lambang 0 (sisa 0) menyatakan hari Sabtu. Lambang 1 (sisa 1) menyatakan hari Minggu. Lambang 2 (sisa 2) menyatakan Senin. Lambang 3 (sisa 3) menyatakan hari Selasa. Lambang 4 (sisa 4) menyatakan hari Rabu. Lambang 5 (sisa 5) menyatakan hari Kamis. Dan lambang 6 (sisa 6) menyatakan hari Jum'at.

Gambar 1. Sistem Modulo 7

2. Tahun Kabisat atau Non Kabisat
Setelah memahami tentang sistem modulo 7, selanjutnya kita harus memahami tahun kabisat atau non kabisat. Tahun kabisat adalah tahun yang dapat di bagi 4 (tidak bersisa), misalnya tahun 2016 merupakan tahun kabisat karena 2016 : 4 = 504. Sebuah Tahun dinyatakan kabisat atau non kabisat berpengaruh pada perhitungan. Karena pada tahun kabisat  366 hari (Februari ada 29 hari), sedangkan pada tahun non kabisat 365 hari (Februari ada 28 hari).

Gambar 2. Jumlah Hari pada Tahun Non Kabisat
Gambar 3. Jumlah Hari pada Tahun Kabisat

3. Melakukan Perhitungan
Setelah memahami sistem modulo 7 dan tahun kabisat dan non kabisat, sekarang saatnya kita langsung melakukan perhitungan. Dengan Rumus di bawah ini :

X + Y + Z = S (Modulo 7)
  1. X = U-1 (U = Jumlah Tahun)
  2. Y = Bilangan Bulat dari (X/4)
  3. Z = Jumlah hari dari tanggal 1 Januari sampai tanggal yang di cari (lihat gambar 2 dan 3)
  4. S = Sisa pembagian modulo 7 (lihat gambar 1)
Contoh, kita akan mencari 01 Januari 2020 jatuh pada hari apa.
  • Langkah pertama adalah mengidentifikasi Tahun kabisat atau non kabisat. 
2020 merupakan tahun kabisat, karena 2020 : 4 = 505 (tidak bersisa), maka jumlah harinya adalah 366 (Februari 29 Hari).
  • Langkah kedua adalah mencari X.
X didefinisikan sebagai jumlah tahun di kurangi satu, maka 2020-1 = 2019
  • Langkah ketiga adalah mencari Y.
Y di definisikan sebagai Bilangan bulat terbesar dari X : 4, maka 2019 : 4 = 504,75 (504) 
  • Langkah keempat adalah menghitung Z.
Z di definisikan sebagai jumlah hari dari tanggal 1 Januari ke tanggal yang di cari. Karena tanggal yang di cari adalah 1 Januari maka Z = 1
  • Langkah kelima adalah mencari S dengan menjumlahkan X + Y + Z mod 7
S didefinisikan sebagai sisa pembagian dari X + Y + Z mod 7, karena 2019 + 504 + 1 = 2524. maka 2524 mod 7 akan menghasilkan S. Sisa pembagian 2524 dari 7 adalah 4. (bisa di cek 2524 : 7 = 4). Jadi S = 4.
  • Langkah terakhir adalah mencocokan nilai S (lihat gambar 1).
Karena 4 merupakan hari Rabu, maka 01 Januari 2020 jatuh pada hari Rabu. Jika masih ragu, bisa diperkuat dengan menggunakan kalender online seperti di bawah ini.

Ternyata Benar !! 01 Januari 2020  jatuh pada hari Rabu. 

Mudah kan ? Silahkan teman-teman mecoba bereksplorasi dengan berbagai tanggal, seperti hari ulang tahun, tanggal-tanggal penting dsb. GOOD LUCK !!